দেখে আসি নতুন দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্রটি কীভাবে কাজ করে

গত কয়েকদিন ধরে বিভিন্ন নিউজে আসছে ৪০০০ বছর আগের দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের যে সূত্র আমরা ছোট বেলা থেকে করে আসছি, সেটার থেকেও সহজ নতুন আরেকটুই সূত্র আবিষ্কার হয়েছে ! ভাবা যায় এগুলা ! ৪০০০ বছর পর নতুন কিছু আসল ! এই সূত্র যিনি দিয়েছেন তাঁর নাম পো শেন লো (Po-Shen Loh)। তাঁর সম্পর্কে জানতে এখানে দেখে আসুন।

তো, এখন সূত্রটিতে চলে যাই। দ্বিঘাত সমীকরণের স্ট্রাকচার হয় এমন,

ax² + bx + c=0 …. (i)

অর্থাৎ, x এর দুইটি মান বা মূল আমরা পেতাম এইভাবেঃ

এখন এই সমীকরণকে (i) উভয় পাশে a দিয়ে ভাগ করলে হয়ঃ

x² + (b/2)x + (c/2)=0 । এখন (b/2) এবং (c/2) কে ধরে নিলাম যথাক্রমে B এবং C ! কেননা যেহেতু এরা সহগ বা কন্সট্যান্ট তাই নতুন আরেকটি কন্সট্যান্ট ধরাই যায়। তাহলে আমাদের নতুন ফর্মুলার চেহারা দ্বাড়ালঃ x² + Bx + C=0 ।

ধরে নিলাম এই সমীকরণকে ফ্যাক্টোরাইজড করলে এমন দ্বাড়ায়

x² + Bx + C= (x-R)(x-S) যেখানে R এবং S দুইটি মূল। আর যদি এর বাম পক্ষ কোন ভাবে শূন্য হয়ে যায় তবে সমীকরণটি দাঁড়ায় (x-R)(x-S) = 0 অর্থাৎ x = R,S

এখন, ডানপক্ষকে একটু মেকাপ করা যাক, থুক্কু সাজানো যাক,

এখন দুই পাশ মেলালে দেখা যায়, B এর যায়গায় ডানপক্ষে আছে -(R+S) এবং C এর যায়গায় ডানপক্ষে আছে RS। যেহেতু আগেই বলেছি, R,S দুইটি মুল। এখন আরেকটি ব্যাপার দেখি।যেমনঃ দুইটি সংখ্যার যোগফল, 5+5 = 10 । এখন যোগফলকে যদি ২ দিয়ে ভাগ করি, তবে ভাগফল হয় ৫ অর্থাৎ, এক্ষেত্রে যে দুইটি সংখ্যার যোগফল ১০ ছিল, সেই দুইটি সংখ্যাও আবার ৫ ! আবার যদি এমন হতো, 5+6=11 আর (11/2) = 5.5 ! আচ্ছা, এখন, যেহেতু দুইটি সংখ্যার যোগফল ছিল ১১। একটি সংখ্যা ধরা যায় (5.5 + .5 ) = 6 এবং আরেকটি সংখ্যা (5.5 -.5) = 5 !
যদি সংখ্যা দুইটি অসমান হয়, একটি সংখ্যা তাদের গড় মানের চেয়ে যতটা বেশি হবে, অপর সংখ্যাটা গড় মানের চেয়ে ততটাই কম হবে । আর দুটি সমান সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রত্যেকটি গড়মানের সমান।

অর্থাৎ, উপরের এক্সাম্পলে গড় মানের সাথে ০.৫ কম বেশি দিয়ে আমরা 5,6 পেয়েছিলাম।
তাহলে, যদি দুইটি মূলের গড় (R+S)/2 হয়,
তবে, একটি মূল হবে {(R+S)/2 } + z

আর অপর মূল হবে {(R+S)/2 } -z । এখানে z হলো সেই সংখ্যাটা যার কম বেশি হওয়াতে দুইটা সংখ্যা গড় মান থেকে বের করা যায়। এটা খুবই ছোট একটা সংখ্যা। এখন, আমাদের দ্বিঘাত সমীকরণের নতুন চেহারায় আমরা যেটা পেয়েছিলাম, B এর যায়গায় ডানপক্ষে আছে -(R+S) । তাই লেখা যায় (R+S) = -B

এখন, মূল দুইটি দ্বাড়ায়, (-B/2) + z এবং (-B/2) -z । এখন এদের যদি গুনফল বের করতে চাই তাহলে দাঁড়ায়

এখানে, মূল দুইটির গুনফল C কেননা C = RS আমরা আগেই দেখেছিলাম।অবশেষে আমরা z এর মান বের করতে পারলাম।

এখন, মূল দুইটি যেহেতু, (-B/2) + z এবং (-B/2) -z

তাহলে লিখা যায়,

আর এটাই হলো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল বের করার নতুন সূত্র। আগের সূত্রটি অনেক বড় আর এটি সহজ এবং ছোট।

পাশাপাশি দেখলেই বুঝা যাবে

এখন যেকোন দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করা যাবে। একবার চেষ্টা করেই দেখুন।
এটা সূত্র বা অনুসিদ্ধান্ত দুটোই বলা যেতে পারে।
তবে, ক্যালকুলেশন অনেকাংশে কমে আসছে। তো আজকে এই পর্যন্তই। ভালো লাগলে শেয়ার করুন।